limit

 A. Limit fungsi aljabar

Dalam hubungannya dengan bentuk limit yang pertama ada beberapa metode dalam menentukan nilai limit fungsi aljabar yaitu dengan cara substitusi dan cara pemfaktoran

Cara substitusi ini langkahnya dengan mengganti peubah yang mendekati nilai tertentu dengan fungsi aljabarnya. Berikut adalah beberapa contoh yang dapat dipahami.

• Contoh 1:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,

• Cara Pemfaktoran

Cara pemfaktoran digunakan apabila cara substitusi menghasilkan nilai limit yang tidak terdefinisikan seperti pada contoh berikut:

Cara pemfaktoran dilakukan dengan langkah menentukan faktor persekutuan antara pembilang dan penyebuntya. Berikut beberapa contoh untuk dipahami.

• Contoh 1:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,

 

B. Teorema limit

 

• Rumus Cepat limit tak hingga

Rumus cepat mengerjakan limit tak hingga yang pertama dapat digunakan untuk bentuk soal limit tak hingga pada bentuk pecahan. 

Untuk memperoleh nilai limit tak hingga bentuk pecahan kita hanya perlu memperhatikan pangkat tertinggi dari masing-masing pembilang dan penyebut.

Ada 3 kemungkinan yang dapat saja terjadi. 

1. pangkat tertinggi pembilang lebih kecil dari pangkat tertinggi penyebut.

2. pangkat tertinggi pembilang sama dengan pangkat tertinggi penyebut.

3. pangkat tertinggi pembilang lebih tinggi dari pangkat tertinggi penyebut.

Rumus ke-3 nilai limit tak terhingga bentuk pecahan tersebut dapat dilihat pada persamaan dibawah ini.

Nilai pangkat tertinggi pada pembilang adalah 3. Nilai pangkat tertinggi penyebut adalah 2 (m>n). Jadi, nilai limitnya adalah ∞.

C. LIMIT TAK TENTU

Kalian pasti tidak asing lagi dengan bentuk limit di atas. Ketiga bentuk limit tersebut memiliki penampilan yang sama yaitu terdapat hasil bagi dan memiliki pembilang dan penyebut berlimit nol. Khusus untuk limit yang ketiga sebenarnya merupakan definisi turunan 

menghitung limit itu dengan mensubstitusikan nilai x.

 pada fungsi pembilang dan penyebut, kita akan memperoleh jawaban yang tak ada artinya, yaitu 0/0. Namun demikian, kita tidak mengatakan bahwa limit tersebut tidak ada, melainkan kita hanya mengatakan bahwa limit tersebut tidak dapat ditentukan dengan aturan hasil bagi limit.

Anda tentunya masih ingat bahwa dengan menggunakan geometri, kita dapat membuktikan bahwa

Di lain pihak, dengan menggunakan pemfaktoran dalam aljabar, kita peroleh

Kita telah berhasil menyelesaikan dua bentuk limit di atas dengan menggunakan geometri dan pemfaktoran aljabar, tetapi tentunya akan lebih baik bila ada aturan baku yang dapat dipakai untuk menghitung limit-limit demikian. Memang ada, yaitu suatu aturan yang lazim dinamakan Aturan I’Hopital (baca: loupital).

Aturan I’Hopital.

Pada tahun 1696, Guillaume Francois Antoine de I’Hopital menerbitkan buku pertama tentang kalkulus diferensial; di dalamnya ada aturan di bawah ini, yang ia peroleh dari gurunya bernama Johann Bernoulli.

TEOREMA: Aturan I'Hopital

ada, baik ia terhingga atau tak-terhingga (misalnya, bilangan terhingga L, ∞,atau-∞), maka

Mari kita lihat beberapa contoh penerapan dari aturan I’Hopital.

• CONTOH 1

Gunakan aturan I’Hopital untuk membuktikan bahwa

Jika kita mensubstitusikan nilai x pada fungsi pembilang dan penyebut, kita akan peroleh dua limit tersebut berbentuk 0/0. Oleh karena itu, kita dapat menggunakan aturan I’Hopital yaitu sebagai berikut.

Jadi, limit yang pertama adalah 1 dan limit yang kedua adalah bernilai 0.

Daftar pustaka

Bunyan. Jagostat. 2021